🎯 学习目标
- 掌握 7 种基本逻辑门（AND、OR、NOT、NAND、NOR、XOR、XNOR）
- 理解布尔代数如何描述和简化逻辑关系
- 能用逻辑门搭建简单组合电路（如半加器、全加器）
- 区分组合逻辑与时序逻辑
一、什么是逻辑门？
逻辑门 是实现布尔函数的电子器件，输入/输出只有
0（低电平）或1（高电平）。
二、7 种基本逻辑门
| 门 | 符号 | 布尔表达式 | 功能 |
|---|---|---|---|
| NOT | ⦁→○ | ( Y = \overline{A} ) | 取反 |
| AND | & | ( Y = A \cdot B ) | 全1才1 |
| OR | ≥1 | ( Y = A + B ) | 有1就1 |
| NAND | &+○ | ( Y = \overline{A \cdot B} ) | 全1才0 |
| NOR | ≥1+○ | ( Y = \overline{A + B} ) | 全0才1 |
| XOR | =1 | ( Y = A \oplus B ) | 不同为1 |
| XNOR | =1+○ | ( Y = \overline{A \oplus B} ) | 相同为1 |
✅ 重点：
- NAND 和 NOR 是“通用门”：仅用它们可构建任何逻辑电路。
- XOR 用于加法、奇偶校验。
三、布尔代数基础
常用定律包括交换律、结合律、分配律、德·摩根律、吸收律等。
德·摩根律（De Morgan’s Laws）
[
\begin{aligned}
\overline{A + B} &= \overline{A} \cdot \overline{B} \
\overline{A \cdot B} &= \overline{A} + \overline{B}
\end{aligned}
]
【Q&A】(\overline{A}) 是什么？德·摩根怎么理解？
- (\overline{A}) 表示 A 的逻辑非（NOT A），不是数学负号。
- 若 (A = 0)，则 (\overline{A} = 1)；若 (A = 1)，则 (\overline{A} = 0)。
- 德·摩根的核心思想：
- “A 或 B 不成立” ⇔ “A 不成立 且 B 也不成立”
- “A 与 B 不成立” ⇔ “A 不成立 或 B 不成立”
- 电路意义：可用 NOT + AND 实现 NOR，体现门电路的等价性。
吸收律（Absorption Law）
[
\begin{aligned}
A + A \cdot B &= A \
A \cdot (A + B) &= A
\end{aligned}
]
【Q&A】吸收律为什么成立？怎么推导？
1. 真值表验证：无论 B 取何值，(A + AB) 的结果始终等于 A。
2. 代数推导：
[
A + AB = A \cdot 1 + A \cdot B = A(1 + B) = A \cdot 1 = A
]
（因为 (1 + B = 1) 在布尔代数中恒成立）
3. 电路意义：当 A 已确定输出时，额外的 (AB) 路径不影响结果，被“吸收”。
→ 这是逻辑简化的重要工具！
四、组合逻辑电路
组合逻辑电路：输出仅取决于当前输入，无记忆、无反馈。
特点：
- 输入变化 → 输出立即响应（忽略延迟）
- 由逻辑门直接连接构成
- 例子：加法器、译码器、多路选择器
五、实战：加法器设计
1. 半加器（Half Adder）
- 输入：A, B
- 输出：
- Sum = (A \oplus B)
- Carry = (A \cdot B)
2. 全加器（Full Adder）
- 输入：A, B, Cin
- 可用 2 个半加器 + 1 个 OR 门 构成
- 是构建多位加法器（如32位ALU）的基本单元
六、组合逻辑 vs 时序逻辑（预览）
| 组合逻辑 | 时序逻辑 | |
|---|---|---|
| 输出依赖 | 仅当前输入 | 当前输入 + 历史状态 |
| 有无记忆 | ❌ 无 | ✅ 有（靠寄存器） |
| 例子 | 加法器、译码器 | 寄存器、计数器、CPU |
📝 小结
- 逻辑门是数字电路的“原子”
- 布尔代数是设计与优化的数学工具
- 半加器 = XOR + AND；全加器 = 2×半加器 + OR
- 德·摩根律 和 吸收律 是化简的关键
- 组合逻辑 = 无记忆，纯门电路